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Análisis dimensional

En física la palabra dimensión indica la naturaleza física de una cantidad; por ejemplo, la distancia entre dos puntos puede ser medida en pies, metros o estadios, que son formas diferentes de expresar la dimensión de longitud.

Los símbolos aplicados en esta sección, para especificar las dimensiones de longitud, masa y tiempo, son L, M y T, respectivamente. El paréntesis [ ] con frecuencia se aplicará para indicar las dimensiones de una cantidad física. Por ejemplo, en esta notación las dimensiones de velocidad v son escritas [v] = L/T, y las dimensiones de área A son [A] = L^2. Las dimensiones de área, volumen, velocidad y aceleración se mencionan en la tabla 1.5. Las dimensiones de otras cantidades, como la fuerza y la energía, serán descritas más adelante conforme sean introducidas.

MagnitudDimensión
ÁreaL^2
VolumenL^3
VelocidadL \ T^{-1}
AceleraciónL \ T^{-2}
Tabla 5. Dimensiones

En física con frecuencia es necesario ya sea deducir una expresión matemática o una ecuación o bien verificar su validez. Al procedimiento para realizar esto, se le conoce como análisis dimensional, que hace uso del hecho de que las dimensiones pueden ser tratadas como cantidades algebraicas. Tales cantidades, por ejemplo, pueden ser sumadas o restadas únicamente si tienen las mismas dimensiones. Si los términos en los lados opuestos de una ecuación tienen las mismas dimensiones, entonces la ecuación es correcta, aunque esto no puede garantizarse con bases dimensionales solamente. Sin embargo, el análisis dimensional tiene valor como verificación parcial de una ecuación y también puede utilizarse para desarrollar una comprensión de las relaciones entre las magnitudes físicas.

Este procedimiento puede utilizarse para ilustrar el desarrollo de algunas relaciones entre la aceleración, la velocidad, el tiempo y la distancia. La distancia x tiene la dimensión de longitud [x] = L. El tiempo t tiene la dimensión [t] = T. La velocidad v tiene las dimensiones de distancia sobre tiempo [v] = L/T, y la aceleración tiene las dimensiones de distancia sobre el tiempo al cuadrado [a] = L/T^2. Observe que la velocidad y la aceleración tienen dimensiones similares, excepto por una dimensión extra del tiempo en el denominador de la aceleración. Con esto, se tiene

    \begin{equation*} [v]=\frac{L}{T} = \frac{L}{T^2} T=[a][t] \end{equation*}

De esto se puede intuir que la velocidad es igual a la aceleración multiplicada por el tiempo, v = at, y que es cierto para el caso especial de movimiento con aceleración constante a partir del reposo. Al darse cuenta de que la velocidad tiene dimensiones de longitud dividida entre el tiempo y la distancia tiene dimensiones de longitud, es razonable suponer que

    \begin{equation*} [x]=L=L\frac{T}{T} = \frac{L}{T} T=[v][t]=[a][t]^2 \end{equation*}

Aquí parece que x = at^2 relaciona correctamente la distancia recorrida con la aceleración y el tiempo; sin embargo, esta expresión no es totalmente correcta en el caso de aceleración constante partiendo del reposo. La expresión correcta en este caso es x = \frac{1}{2} at^2. Estos ejemplos sirven para mostrar las limitaciones inherentes al uso del análisis dimensional para descubrir las relaciones entre las magnitudes físicas. Sin embargo, procedimientos tan sencillos todavía pueden ser de utilidad en el desarrollo de un modelo matemático preliminar para un sistema físico dado. Además, debido a que es fácil cometer errores en la solución de problemas, el análisis dimensional puede utilizarse para comprobar la consistencia de los resultados. Cuando las dimensiones de una ecuación no son consistentes, esto indica que se ha cometido un error en un paso previo.

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